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发布时间：2006-07-02 05:14     点击：

r(b1, b2,¼ , bt)£r(a1, a2,¼ ,as ).

如果a1, a2,¼ ,as和b1, b2,¼ , bt等价,则

r(a1, a2,¼ ,as )=r(b1, b2,¼ , bt).

极大无关组和秩的概念可以推广到向量集合上(即包含的向量的个数不必有限),所有性质仍然成立.

4. 有相同线性关系的向量组

两个向量数相同的向量组a1, a2,¼ ,as和b1, b2,¼ , bs称为有相同线性关系,如果向量方程

x1a1+ x2a2+¼ +xsas=0和x1b1+ x2b2+¼ +xsbs=0

同解.

(例如,当A经过初等行变换化为B时, A的列向量组和B的列向量组有相同线性关系.)

当a1, a2,¼ ,as和b1, b2,¼ , bs有相同线性关系时,

(1)它们的秩相等.

(2)它们的极大无关组相对应.

(3)它们有相同的内在线性表示关系.

5.矩阵的秩

定义 一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等,称为此矩阵的秩,记作r(A).

于是

r(A)=0Û A=0.

如果A是m´n矩阵,则r(A)£Min{m,n},当等号成立时,称A为满秩的.

如果A是n阶矩阵,则A满秩,即r(A)=nÛ A的行(列)向量组无关

Û|A|¹0ÛA可逆ÛAX=b有唯一解Û齐次方程组AX=0只有零解.

命题 ① 初等变换保持矩阵的秩.

② 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

矩阵A的r阶子式:任取 A的r行和r列,在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式.

命题 r(A)就是A的不等于0的子式的阶数的最大值.(即A的每个阶数大于r(A)的子式都为0,都是A有阶数等于r(A)非0子式.)

在作矩阵的运算中,矩阵的秩有性质:

① r(A T)=r(A).

② 如果c不为0,则r(cA)=r(A).

③ r(A±B)£r(A)+ r(B).

④ £Min{r(A),r(B)}. ⑤当A(或B)可逆时,r(AB)=r(B)(或r(A)).

⑥ 如果AB=0,n为A的列数(B的行数),则r(A)+r(B)£n.

⑦ 如果r(A)等于列数,则r(AB)=r(B).

下面给出⑤和⑦在判别向量组的线性相关性和秩的计算问题上的应用.

设向量组a1, a2,¼ ,as线性无关,向量组b1, b2,¼ ,bt可用a1, a2,¼ ,am线性表示,表示矩阵为C,则

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