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发布时间：2006-07-02 05:14     点击：

与线性相关性有关的性质:

① a1, a2,¼ ,as 线性相关Û至少有一个ai可以用其它向量线性表示.

② 当向量的个数s大于维数n时, a1, a2,¼ ,as 一定线性相关.

③ 线性无关向量组的每个部分组都无关(从而每个向量就不是0).

④ 如果a1, a2,¼ ,as 线性相关,而a1, a2,¼ ,as,b线性相关,则b可用a1, a2,¼ ,as 线性表示.

⑤ 如果b可用a1, a2,¼ ,as 线性表示,则表示方式唯一Ûa1, a2,¼ ,as 线性无关.

⑥ 如果b1, b2,¼ , bt可以用a1, a2,¼ ,as线性表示，并且t>s,则 b1.b2,¼,bt 线性相关.

推论 如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等.

3.向量组的极大无关组和秩

秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大的线性无关的部分组.

定义 设a1, a2,¼ ,as 是n维向量组,(I)是它的一个部分组.如果

① (I) 线性无关.

② (I) 在扩大就线性相关.

就称(I)为a1, a2,¼ ,as 的一个极大无关组.

条件②可换为:任何aI都可用(I) 线性表示.也就是(I) 与a1, a2,¼ ,as 等价.

当a1, a2,¼ ,as 不全为零向量时, 它就存在极大无关组, 并且任意两个极大无关组都等价,从而包含的向量个数相等,

定义 如果a1, a2,¼ ,as 不全为零向量,则把它的极大无关组中所包含向量的个数(是一个正整数)称为a1, a2,¼ ,as 的秩,记作r(a1, a2,¼ ,as ).如果a1, a2,¼ ,as 全是零向量,则规定r(a1, a2,¼ ,as )=0.

秩有以下性质:

① a1, a2,¼ ,as 线性无关Û r(a1, a2,¼ ,as )=s.

② b可用a1, a2,¼ ,as 线性表示Ûr(a1, a2,¼ ,as，b)=r(a1, a2,¼ ,as ).(见例3.2)

③ 如果r(a1, a2,¼ ,as )=k,则

i) a1, a2,¼ ,as 的每个含有多于k个向量的部分组相关.

ii) a1, a2,¼ ,as 的每个含有k个向量的无关部分组一定是极大无关组..

④ 如果b1, b2,¼ , bt可以用a1, a2,¼ ,as线性表示,则

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