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发布时间：2006-07-02 05:14     点击：

矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往比较复杂,要用恒等变形简化为下上基本形式再求解.

(2) 可逆矩阵

定义 设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.

此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.

矩阵可逆性的判别:

① n阶矩阵A可逆Û|A|¹0.

② n阶矩阵A和B如果满足AB=E,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.(即 AB=EÛBA=E.)

可逆矩阵有以下性质:

① 如果A可逆,则

A-1也可逆,并且(A-1)-1=A,|A-1|=|A|-1.

AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.

当c¹0时, cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1.

对任何正整数k, Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.

(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(Ak)-1=(A-1)k.

② 如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.

③ 如果A可逆,则A在乘法中有消去律:

AB=0ÞB=0. BA=0ÞB=0.

AB=ACÞB=C. BA=CAÞB=C.

④ 如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):

AB=CÛB=A-1C. BA=CÛB=CA-1.

由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:

(I) AX=B的解X=A-1B ; (II) XA=B的解X= BA-1.

这种解法自然好记,但是计算量必初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).

(3) 逆矩阵的计算和伴随矩阵

逆矩阵的计算有两种方法.

①初等变换法: A-1是矩阵方程AX=E的解,于是对(A|E)用初等行变换把化为E,则E化为A-1.

② 伴随矩阵法

若A是n阶矩阵,记Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为

A11 A21 ¼ An1

A*= A12 A22 ¼ An2 =(Aij)T.

¼ ¼ ¼

A1n A2n ¼ Amn

规定伴随矩阵不要求A可逆.但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.

基本公式: AA*= A*A= |A|E.

于是对于可逆矩阵A,有

A-1= A*/|A|, 或A*=|A| A-1.

因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.

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