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发布时间：2006-07-01 00:37     点击：

　　例已知：抛物线ｙ＝１２ｘ２－３２ｍｘ－２ｍ交ｘ轴于Ａ（ｘ１，０），Ｂ（ｘ２，０），交ｙ轴于Ｃ点，且ｘ１＜０＜ｘ２，（ＡＯ＋ＯＢ）２＝１２ＣＯ＋１．

　　（１）求抛物线的解析式．

　　（２）在ｘ轴的下方是否存在着抛物线上的点Ｐ，使∠ＡＰＢ为锐角，若存在，求出Ｐ点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．

　　（武汉市中考题）

　　解：（１）∵ｘ１＜０＜ｘ２

　　∴ＡＯ＝－ｘ１，ＯＢ＝ｘ２

　　∴ＡＯ＋ＯＢ＝ｘ２－ｘ１

　　又∵ｘ１＋ｘ２＝３ｍ，ｘ１ｘ２＝－４ｍ＜０∴ｍ＞０．

　　又∵Ｃ（０，－２ｍ）∴ＣＯ＝２ｍ

　　∵（ＡＯ＋ＯＢ）２＝１２ＣＯ＋１

　　∴（ｘ２－ｘ１）２＝１２×２ｍ＋１

　　即：（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２＝２４ｍ＋１，整理，得

　　９ｍ

　　２－８ｍ－１＝０，

　　解得ｍ１＝１，

　　ｍ２＝－１

　　９．

　　∵ｍ＞０，∴ｍ＝１．

　　∴抛物线的解析式为：ｙ＝１２ｘ２－３２ｘ－２．

　　（２）存在这样的Ｐ点，使∠ＡＰＢ为锐角．

　　由１２ｘ２－３２ｘ－２＝０，

　　得ｘ１＝－１，ｘ２＝４．

　　∴Ａ（－１，０），Ｂ（４，０），

　　而Ｃ（０，－２）．

　　如图，连结ＡＣ、ＢＣ

　　∴ＡＣ２＝５，ＢＣ２＝２０，ＡＢ２＝２５．

　　∴△ＡＢＣ为直角三角形．

　　过Ａ、Ｂ、Ｃ三点作⊙Ｏ１，则ＡＢ为⊙Ｏ１的直径．

　　∵⊙Ｏ１与抛物线都关于直线ｘ＝３２对称．

　　∴点Ｃ关于直线ｘ＝３２的对称点Ｍ是⊙Ｏ１与抛物线的另一个交点．

　　∴Ｍ（３，－２）．

　　设Ｐ点的横坐标为ｘ０，当０＜ｘ０＜３时，点Ｐ在⊙Ｏ１外．

　　连结ＰＡ交⊙Ｏ１于点Ｑ，连结ＱＢ、ＢＰ．

　　而∠ＡＰＢ＜∠ＡＱＢ＝９０°，故∠ＡＰＢ为锐角．

　　同理，当－１＜ｘ０＜０，或３＜ｘ０＜４时，有∠ＡＰＢ为钝角．

　　故ｘ０的范围是０＜ｘ０＜３．

　　（２）由（１）的结论，易得“三交点”Ａ、Ｂ、Ｃ构成了直角三角形．显然Ｐ点应以Ｃ点为参照，再结合二次函数的对称性，可求得满足条件的Ｐ点的横坐标范围．

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