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抛物线与系数的关系及其应用

发布时间：2006-06-30 23:21 点击：

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　　一、关系

　　二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象是由系数ａ、ｂ、ｃ决定的，系数的符号与抛物线有如下关系：

　　１．二次项系数ａ决定抛物线的开口方向．ａ＞０开口向上；ａ＜０开口向下．

　　２．抛物线的对称轴是ｘ＝－ｂ２ａ．

　　ｂ＝０抛物线的对称轴是ｙ轴；

　　ａｂ＞０（ａ、ｂ同号）抛物线的对称轴在ｙ轴的左侧．

　　ａｂ＜０（ａ、ｂ异号）抛物线的对称轴在ｙ轴的右侧．

　　３．ｃ是抛物线与ｙ轴交点的纵坐标．

　　ｃ＝０抛物线经过原点；

　　ｃ＞０抛物线与ｙ轴交于正半轴；

　　ｃ＜０抛物线与ｙ轴交于负半轴．

　　４．△＝ｂ２－４ａｃ确定图象与ｘ轴是否相交．

　　 △＞０抛物线与ｘ轴有两个交点；

　　 △＝０抛物线与ｘ轴只有一个交点；

　　 △＜０抛物线与ｘ轴没有交点．

　　二、应用

　　１．由抛物线确定系数的符号（或关系）

　　例１二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，则下列结论正确的是（）（２００３年北京市海淀区中考题）

　　Ａ．ａ＞０，ｂ＜０，ｃ＞０Ｂ．ａ＜０，ｂ＜０，ｃ＞０

　　Ｃ．ａ＜０，ｂ＜０，ｃ＜０Ｄ．ａ＜０，ｂ＞０，ｃ＞０

　　分析由抛物线的开口向下，对称轴在ｙ轴的右侧，与ｙ轴的交点在其正半轴．可知ａ＜０，ａｂ＜０，从而ｂ＞０，ｃ＞０，故Ｄ正确．

　　例２已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，下列结论中①ａｂｃ＞０，②ｂ＝２ａ，③ａ＋ｂ＋ｃ＜０，④ａ－ｂ＋ｃ＞０，正确的个数是（）（２００２年哈尔滨市中考题）

　　Ａ．４个Ｂ．３个Ｃ．２个Ｄ．１个

　　分析由抛物线开口向下，对称轴在ｙ轴的左侧，与ｙ轴的交点在ｘ轴的上方，可知ａ＜０，ａｂ＞０，从而ｂ＜０，又ｃ＞０．∴ａｂｃ＞０，由ｘ＝－ｂ２ａ＝－１，知ｂ＝２ａ，则ａ＋ｂ＋ｃ＜０，ａ－ｂ＋ｃ＞０，故选Ａ．

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