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利用直角三角形妙解中考应用题

发布时间：2006-06-30 23:17 点击：

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　　近年来，有些中考数学应用题，可利用直角三角形来解决，在这些直角三形中，常包含３００，４５０，６００等特殊角．下面举例说明：

　　一、求山高或建筑物的高

　　例１（河南）如图１，从山顶Ａ望地面Ｃ，Ｄ两点，测得它们的俯角分别是４５０和３００，已知ＣＤ＝１００米，点Ｃ位于ＢＤ上，则山高ＡＢ等于（）．

　　（Ａ）１００米（Ｂ）５０３√米

　　（Ｃ）５０２√米

　　（Ｄ）５０（３√＋１）米

　　解设ＡＢ＝ｘ米，则ＣＢ＝ｘ．在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ３００＝ＡＢＤＢ

　　 ∴ｘ１００＋ｘ＝３√３

　　解得ｘ＝５０（３√＋１）．从而正确答案应先（Ｄ）．

　　例２（江苏）如图２，已知楼高ＡＢ＝３０米，从楼顶Ａ处测得旗杆顶Ｃ的仰角为４５０，求旗杆的高ＣＤ（精确到０．１米）．

　　解作ＣＮ⊥ＡＢ于Ｎ，ＥＦ⊥ＣＤ于Ｆ．由题意可知∠ＮＡＣ＝３００，∠ＣＥＦ＝４５０．设ＣＤ＝ｘ米，则ＣＦ＝ｘ－５＝ＥＦ．在Ｒｔ△ＡＮＣ中，ＮＣ＝ＥＦ＝ｘ－５．而ＡＮ＝ＡＢ－ＮＢ＝ＡＢ－ＣＤ＝３０－ｘ．∴ｔａｎ３００＝ｘ－５３０－ｘ

　　＝３√

　　３

　　解得ｘ＝２５３√－１５２≈１４．１．

　　答旗杆ＣＤ的高约为１４．１米．

　　二、修渠与筑坝问题

　　例３（江苏）如图３，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽ＢＣ为８米，坝高１８米，迎水坡ＣＤ的坡角为４５°，背水坡ＡＢ的坡角的余弦值是４５，求坝底宽ＡＤ．

　　分析作高ＢＥ和ＣＦ，将梯形分解为两个直角三角形和一个矩形，然后再解直角三角形．

　　解作ＢＥ⊥ＡＤ于Ｅ，ＣＦ⊥ＡＤ于Ｆ，根据题意，知ＢＥ＝ＣＦ＝１８，ＥＦ＝ＢＣ＝８．∵∠ＣＤＦ＝４５°，∴ＤＦ＝ＣＦ＝１８．在Ｒｔ△ＢＡＥ中，∵ｃｏｓＡ＝４５∴可设ＡＥ＝４ｘ，ＡＢ＝５ｘ，则ＢＥ＝３ｘ，即３ｘ＝１８，∴ｘ＝６，即ＡＥ＝２４．∴ＡＤ＝ＡＥ＋ＥＦ＋ＦＤ＝２４＋８＋１８＝５０．

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